В нашия свят сме свикнали да наблюдаваме всичко като структури. В тях виждаме ред, хармония и логика. Подобен подход е нормален - нашето възприятие е резултат от комуникацията между подобни структури. Нашият мозък е система от неврони, а в по-глобален план нашите тела са съвкупност от кръвоносна, дихателна и нервна системи. Със сигурност пропускам някоя, но не това е акцентът на статията. Идеята е, че подобни формализми не са просто абстракция. Те поставят граници, лимити, които, както ще видим по - нататък, са особено важни за съществуването на всичко.

Ако всичко е възможно, си обречен

Всички си мечтаем за свят, където всичко е възможно. Искаме да сме способни да правим, каквото си пожелаем. Да няма граници пред нас. 

Дали тази свобода, няма да ни коства много. Ние сме дело на природата, а природата, сама по себе си, си поставя граници. Скоростта на светлината* и силата на Нютоновата гравитация* са константи от съществено значение за баланса на разширяващата се вселена. Ако бяха по - малки, нямаше да се образуват галактиките, звездите и планетите - материята нямаше да се натрупва, а да се отдалечава прекалено бързо. Ако бяха пък по - големи, струпванията на материята щяха да колапсират много бързо. И в двата случая светът, който познаваме, нямаше да съществува. 

След като самата вселена си поставя граници, защо ние да нямаме лимит на способностите. "С голямата сила, идва голямата отговорност"* - така се казваше в комиксите за любим мой герой - а ние със сигурност нито сме дорасли за такава сила, нито сме толкова отговорни.

Самата идея, всичко да е възможно, обрича нашето съществуване на парадокси, конфликти в системите - с други думи на хаос.

Самопозоваването - кутията на Пандора

"Ако е една система е пълна, то тя е податлива на противоречия, ако е непротиворечива, то тя е непълна" - до тази перефразирана теорема достига Курт Гьодел* през 1931 година. Може би като го прочетете, не си давате сметка, колко фундаментално е това заключение. Теоремата поставя в неприятна позиция цялата математическа общност по онова време, оборвайки вярването, че математиката е непротиворечива. Доказването, че, водейки се само от правилата, който тя ти дава, можеш да стигнеш до противоречие, поставя под съмнение всичко потвърдено до момента.

За да илюстрирам как може съвсем лесно да стигнем до подобно противоречие, ще ви запозная с парадокса на Ръсел за множествата. 

В математиката има един клон от нея, който се занимава с теорията на множествата. Множеството е съвкупност от числа, обединени по някакъв общ признак. Както аз и вие сме членове на множеството хора, така всяко число по - голямо от 0 може да е член на множеството на положителните числа. Математиката обаче не ни ограничава до тук. Позволено ни е да имаме множества с членове други множества. Подобно на отношението: Живи организми -> Хора, Животни, Растения.

Тогава започва да става интересно. Нека си представим, че има множество от всички множества, които не принадлежат на себе си. То самото част ли е от това множество?

Ако принадлежи, то тогава влиза в противоречие, че всеки член не си самопринадлежи.

Ако не принадлежи, то трябва да е част от множеството, който не си самопринадлежат. С други думи влизаме в конфликт и в двата случая.

Да вземем друг пример от програмирането - рекурсията. Това е практика в писането на програми, където един код може да се самоизвиква (самоповтаря). Това, разбира се, води до безкрайно зацикляне на програмата, освен ако няма така нареченото дъно на рекурсията - граничен случай, при който спираме самоизвикването. Както виждаме тук, за да съществува правилно работещ софтуер, ни трябват граници. Аналогичен пример са деленето на клетката и ДНК - то в биологията. Способността на клетката да се дели, трябва да бъде лимитирана и контролирана. Това е от съществено значение за съществуването на живота.

Дори в езиците - друга формална структура - има условие за парадокс. Замислете се сами върху следващото изречение "Това твърдение е невярно". Четири думи, но огромно противоречие. 

Общото между тези парадокси е самопозоваването. Иначе казано, смесването на нивата в обратен на йерархията ред. Ако член на едно ниво от дадена система има достъп до друго ниво, то системата е обречена. 

В първия пример, общото множество е едното ниво, докато членовете са поднивото. 

Във втория, обхватът на декларираната функция е основното ниво, извикването на функцията в нейния собствен обхват е смесването на нивата.

В третия изречението е горното ниво, а думите, чрез които се самопозовава е поднивото.

Никога няма да сме щастливи заради Гьодел

Теоремата за непълнотата не е валидна само за природните науки. Тя ни съпътства и в нашето ежедневие, и в нашите действия. Дори когато създаваме собствени структури и системи, ние се ръководим от нея. Всяка добре учредена организация си има собствен правилник и разпоредби (отново ограничения). Например шефът на екипа, не се води част от него. Ако беше така, кой ще взима решенията. Екипът трябва да се допита до шефа, той е част от екипа, следователно трябва да излезе с екипна позиция и... безкраен цикъл на допитвания.

Психологията (личността) също е интересна сфера, засегната от теоремата. Реално нашето усещане за личност е самопозоваване на себе си. Ние, хората сме единствените развили това усещане. Ако вземем едно домашно куче, то ще е щастливо, ако е нахранено, на топло и защитено. На нас ни трябва повече. 

Усещането за личност създава повече конкуренция, ние искаме да сме винаги на върха във всичко. Ако видим някой влюбен, искаме и ние да сме влюбени. Ако е богат, и ние да сме богати. Ако е успял в дадена сфера, и ние да сме успешни. Даже не се ограничаваме в една сфера. Кучето не се мери с лъва, но ние го правим.

Винаги съществуват граници. Тези лимити ни дават повече потенциал в една насока, но ни ограничават в друга.

Винаги ще има някой по - добър, по - успешен или по - щастлив в даден момент, а това ще ни прави поне малко нещастни.

Надвайте се на ограниченията, заради тях съществуваме. Не пречи да опитвате, да ги преодолявате. Те съществуват, но не знаем колко са големи. Всяко надмогване на моментна пречка дава ново знание. Така вашите възможности стават все по - безгранични.

Автор: Иван Григоров

Референции:

Скорост на светлината - 299 792 458 м/с

Гравитационна константа

С голямата сила идва голямата отговорност - Спайдър-Мен

Курт Гьодел

Теорема на Гьодел за непълнотата

Източници:

Гьодел, Ешер, Бах: една гирлянда към безкрайността от Дъглас Хофстатър

Парадокс на Ръсел

Допълнителни материали:

Gödel's Incompleteness Theorem - Numberphile

Undecidability Tangent (History of Undecidability Part 1) - Computerphile

Barber & Russell Paradoxes (History of Undecidability Part 2) - Computerphile

Turing Meets Paradoxes (History of Undecidability Part 3) - Computerphile